一、极限计算

 

整张试卷共23题，其中第15题几乎是极限计算大题的代名词。极限计算有8种武器，分别为：四则运算法则、等价无穷小替换、洛必达法则、幂指型函数的处理、单侧极限、夹逼定理、单调有界必有极限原理和泰勒公式。

 

考生在基础阶段要把前5种武器掌握好：内容是什么弄清楚，会应用。后3种武器较难把握，我们可以分阶段啃下这几个硬骨头。基础阶段弄清定理内容，会做基本题目。

 

对于夹逼定理，内容方面，考生要知晓它有数列和函数两种形式。每种形式条件是什么，结论是什么要理解。以数列形式为例，条件是一个数列夹在另两个数列之间(bn<= an<= cn, 只要n充分大时成立即可，因为考虑的是极限)，且有n趋于无穷时，两边的数列收敛到相同的数，结论是夹在中间的数列极限存在且极限值也为相同的数。应用方面，要熟悉夹逼定理推出的一个结论：无穷小乘有界量等于无穷小。会用夹逼定理计算一种长得很有型的数列的极限——n项分母互不相同的分式的和的极限。

 

对于单调有界必有极限原理，内容不难理解。应用方面，可以处理另一种长得很有型的数列的极限问题——递推式数列的极限的存在性问题中的简单题;也可以到了强化阶段再全面处理这种题。

 

泰勒公式可以说是算极限的最强大的武器。万物对立统一，这么强大的武器理解和运用起来自然会有些难度。基础阶段，要理解泰勒公式有两种形式——带皮亚诺余项的公式和带拉格朗日余项的公式，前者用来算极限，后者用来证明。算极限，需要记忆常见函数的泰勒公式。

 

二、中值相关证明

 

中值相关证明是考研数学公认的难点，考生得分率在30%以下。该部分内容比较丰富，包括费马引理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒中值定理。基础阶段，要求考生对上述定理的内容能完整表述，前四个定理会证明。

 

在基础阶段提出“会证”的要求并不过分，理由有三：1. 2015年真题考到了乘积的导数公式的证明，这提醒考生教材中的重要定理要会证;2. 2009年数一、二、三考了拉格朗日中值定理的证明3. 教材中原定理的证明中蕴含中证明其它结论的思想。

 

三、多元极值

 

多元极值问题分成两个子问题：无条件极值和条件极值。

 

1. 无条件极值

 

此类问题的表述为：求某二元函数f(x，y)的极值(或最值)。处理思路为利用多元函数极值的必要条件和充分条件。通过必要条件找出可能的极值点(驻点和不可导点)，利用充分条件一一判断。这部分考点及处理方式可以看成一元函数极值问题的考点及处理方式的自然推广。

 

2. 条件极值

 

此类问题的表述为：求某二元函数f(x，y)在约束条件g(x，y)=0下的极值(或最值)。处理思路为拉格朗日乘数法。

 

四、二重积分

 

二重积分几乎是数学二、数学三的必考内容，也是数学一同学学习多元积分的基础。二重积分比较关键的是计算步骤。拿到一个二重积分，第一步应检验奇偶对称性。有同学可能由于想不到或急于求成，未用对称性化简，结果徒增运算量，增大出错的概率。第二步应选择坐标系。只需搞清何时选择极坐标系，其余情况选择直角坐标系既可。二重积分有两个要素——积分区域和被积函数，所以计算过程中涉及到选择的时候要一看积分区域，二看被积函数。积分区域若为圆域或部分圆域，或者区域的边界的极坐标方程较直角坐标方程简单，则选极坐标系，若被积函数为“f(x^2+ y^2)”的形式，也选极坐标系。

 

若选择了极坐标系，那接下来干什么?要选择积分次序吗?不用选，肯定是先对r积分后对角度积分，另一种次序的积分几乎没出现过。再往后就是定限了。极坐标系下定限可以简单概括为：从原点出发画一条射线穿过积分区域，与积分区域的边界有两个交点，这两个交点的r坐标即为第一次积分的积分上下限(把交点的r坐标用角度表示)。接下来，让刚才画的这条射线绕着原点旋转，直到与积分区域的边界相切，这两条切线对应的角度即为第二次积分的积分上下限。

 

若选择了直角坐标系，那接下来要选择积分次序。又涉及到选择了，当然是一看积分区域，二看被积函数。看积分区域的原则是避免分类讨论，看被积函数的原则是让第一次积分简单。次序选完后，就进入到收官阶段——定限了。直角坐标系下定限可以简单概括为：先对谁积分就画一条平行于哪个坐标轴的直线，穿过积分区域，与积分区域的边界有两个交点。这两个交点就对应着第一次积分的积分上下限。接下来，让刚才画的这条直线平行移动，直到与积分区域的边界相切。这两条切线就对应着第二次积分的积分上下限。